Relational Algebra

Relational Algebra 基于 set algebra，定义了在 relation 中获取和操作 tuples 的一些基础运算 (primitives)。

每个 operator 接受一个或多个 relation (table) 作为输入，并输出一个新的 relation。因此我们可以链式使用 operator 来做到复杂的操作。

Operators

Selection | 选择

选择操作从关系中选择满足特定条件的元组。

形式化地说，${\sigma }_p(r)=\{t|t\in r\wedge p(t)\}$，即选择出 $r$ 中所有满足命题 $p$ 的元素的集合。

符号助记：$\sigma$ = sigma = s = selection

其中，谓词 $p$ 是由一系列 $\wedge$、$\vee$、$\neg$ 连接的命题组成的，每个命题满足形式：

• $⟨\text{attribute}⟩op⟨\text{attribute}⟩$
• $⟨\text{attribute}⟩op⟨\text{constant}⟩$

其中 $op$ 为 $=,\ne ,>,\ge ,<,\le$ 之一。

例如：${\sigma }_{\text{dept\_name}=\text{"Physics"}\wedge \text{salary}>90000}(\text{instructor})$ 表示关系 $\text{instructor}$ 中 $\text{dept\_name}$ 为 "Physics" 且 $\text{salary}$ 大于 90000 的元素形成的子集。

Projection | 投影

投影操作从关系中选择特定的属性列，并可以重新处理属性顺序、去除不想要的属性、根据属性做操作得到新的属性。

例如：${\pi }_{\text{name},\text{salary}\ast 2}(\text{instructor})$ 表示从教师关系中选择姓名属性，并计算工资属性的两倍作为新的属性。

符号助记：$\pi$ = pi = p = projection

Union | 并

并操作将两个关系合并，返回包含两个关系中所有元组的新关系。

形式化地说，$r\cup s=\{t|t\in r\vee t\in s\}$，即包含 $r$ 和 $s$ 中所有元组的集合。

要求：$r$ 和 $s$ 必须是并相容的（union-compatible），即：

• 两个关系具有相同的属性数量
• 对应位置的属性具有相同的域（domain）

例如：$\text{instructor}\cup \text{student}$ 表示所有教师和学生的并集。

Intersection | 交

交操作返回两个关系中共有的元组。

形式化地说，$r\cap s=\{t|t\in r\wedge t\in s\}$，即同时属于 $r$ 和 $s$ 的元组集合。

要求：$r$ 和 $s$ 必须是并相容的。

例如：$\text{instructor}\cap \text{student}$ 表示既是教师又是学生的元组。

Difference | 差

差操作返回属于第一个关系但不属于第二个关系的元组。

形式化地说，$r-s=\{t|t\in r\wedge t\notin s\}$，即属于 $r$ 但不属于 $s$ 的元组集合。

要求：$r$ 和 $s$ 必须是并相容的。

例如：$\text{instructor}-\text{student}$ 表示是教师但不是学生的元组。

Cartesian Product | 笛卡尔积

笛卡尔积操作将两个关系的元组进行组合，生成所有可能的元组对。

形式化地说，$r\times s=\{t\cdot q|t\in r\wedge q\in s\}$，其中 $t\cdot q$ 表示元组 $t$ 和 $q$ 的连接。

结果关系的模式是 $r$ 和 $s$ 模式的并集，属性名可能冲突时需要重命名。

例如：$\text{instructor}\times \text{department}$ 表示教师和部门的所有可能组合。

Join | 连接

连接操作是笛卡尔积和选择的组合，用于根据特定条件连接两个关系。

Natural Join | 自然连接

自然连接 $\bowtie$ 自动连接具有相同属性名的元组，并消除重复属性。

形式化地说，$r\bowtie s={\pi }_{R\cup S}({\sigma }_{r.A_1=s.A_1\wedge \cdots \wedge r.A_n=s.A_n}(r\times s))$，其中 $A_1,\dots ,A_n$ 是 $r$ 和 $s$ 的共同属性。

Theta Join | θ连接

θ连接 ${\bowtie }_{\theta }$ 根据条件 $\theta$ 连接两个关系。

形式化地说，$r{\bowtie }_{\theta }s={\sigma }_{\theta }(r\times s)$，其中 $\theta$ 是连接条件。

Equijoin | 等值连接

等值连接是 θ连接的特例，其中连接条件只包含等号比较。

例如：$\text{instructor}{\bowtie }_{\text{instructor.dept\_name}=\text{department.dept\_name}}\text{department}$ 表示根据部门名称连接教师和部门信息。